资讯 点击: 2019-08-02
【摘 要】无穷级数是高等数学的重要组成部分,而正项级数又是级数理论中重要的组成部分,判别正项级数的敛散性更是数项级数的核心内容。正项级数的判敛方法虽然较多,但使用起来仍有一定的技巧。本文归纳总结了几种常用的正项级数判敛法,比较了这些方法的不同点,总结了几种方法各自的特点与适用范围,便于学习者节约时间,提高效率。 中国论文网 https://www.xzbu.com/8/view-11488453.htm 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具 。而数项级数又是无穷级数的一个重要组成部分,正项级数又是其中很重要的一类。因为许多数项级数都是通过将其化成正项级数而知其敛散性的,因此,正项级数的审敛就显得尤为重要。正项级数有几种审敛法,但一些学生学习中却有些茫然,看到一个级数不知选择哪种方法审敛,针对这种情况,现将几种常用的正项级数的审敛法比较如下:
方法一:收敛的必要条件:若级数 收敛,则 。判断级数敛散性时常用的是它的逆否命题,即:若 ,则 必发散。所以当需判断数项级数的收敛性时,可先看一般项的极限是否为零,如为零不一定收敛,但如不为零,一定发散。如 ,因 ,故此级数发散。
方法二:收敛准则:正项级数 收敛 它的部分和数列 有上界 。此方法适用于前 项和 可求出的正项级数,但多数级数的前 项和 不易求,所以此方法不是很实用,不过利用此收敛准则却可得到下面比较实用的方法。
方法三:比较审敛法:设 和 都是正项级数,且存在正整数 ,当 时有 成立,则当 收敛时, 收敛;当 发散时, 也发散。用八个字简单的记就是“大收小收,小发大发”。用这个方法判断级数的敛散性时,需对该级数有个直观地敛散性的认识,当直观判断它可能收敛(或发散)时,需要将该级数的各项适当地放大(或缩小),使放大(或缩小)后的级数是已知的收敛(或发散)的级数,从而验证我们的判断是正确的。须注意放大(或缩小)的“度”要把握好,不然得不到想要的结论。为了避免这个问题,不妨用下面的方法。
方法四:比较审敛法的极限形式:设 和 都是正项级数,且 ,(1) 当 时,则 与 的敛散性相同。(2)当 时,若 收敛,。则 收敛;(3)当 时,若 发散,。则 发散;这个方法避免了放大或缩小的困扰,只要寻找一个能使 成立的关于 的代数式 即可。
上面这两个方法适用于一般项是 的有理式、无理式以及含有正弦函数、对数函数的正项级数。利用这两个方法判定一个正项级数的敛散性时,都需要预先选定某个收敛(或发散)的级数作为比较级数 ,常用的比较级数是 级数和等比级数。
方法五:比值审敛法:设 为正项级数,如果 ,则当 时,级数收敛;当 时,级数发散;当 时,不确定;此方法适用于一般项中含有 , 或几个数连乘积的因式。
方法六:根植审敛法:设 为正项级数,如果 ,则当 时,级数收敛;当 时,级数发散;当 时,不确定;此方法适用于一般项中含有 的因式。
以上这两种方法的优势是不用另外找比较级数,只用该级数本身即可判敛,不足之处是当 时此法失效。
综合以上,当需要判别一个正项级数的敛散性时,可按以下方法进行:
例 判定下列级数的敛散性:(1) ;(2)
解 (1)本题适宜采用根植判别法。由于 ,所以原级数收敛。这里用到
(2)利用比较审敛法的极限形式。由于
所以
又因为 收敛,所以原级数收敛。
参考文献:
[1] 同济大学数学系.高等数学(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2007.
[2] 四川大学数学系高等数学教研室.高等数学(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1996.
[3] 王冲.浅析正项级数的比较判敛法[J].沧州师范学院学报,2015,3.
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